困扰了很久的问题。

平行和垂直，都是立体几何里重要的位置关系，所以了解和掌握这两种对立又相似的关系我认为非常重要。

下面让我们从它们的定义说起

公理、定理

了解定理是理解的根本。

悬衡而知平，设规而知圆 - 韩非

无规则不成方圆。

有关平行的定理

直线与平面平行判定

$\renewcommand\parallel{\mathrel{/\mskip-2.5mu/}} a\not\subset \alpha,b\subset \alpha,a\parallel b \implies a\parallel \alpha$

这个公式将直线与直线平行推到了直线与平面平行，只要与平面$\alpha$中任何的线$b$与$a$平行，则$a$就与平面$\alpha$平行。

直线与平面平行性质

$\renewcommand\parallel{\mathrel{/\mskip-2.5mu/}} l\parallel \alpha,l\sub \beta,\alpha\cap\beta=m\implies m\parallel l$

这个定理又将线面平行推回了线线平行，但是线面平行只能证明$l\sub \beta$的平面$\beta$（切面）的交线$m$与$l$平行。

面面平行判定

$\renewcommand\parallel{\mathrel{/\mskip-2.5mu/}} a\sub\alpha,b\sub \alpha ,a\cap b=A,a\parallel\beta,b\parallel\beta\implies\alpha\parallel\beta$

光看条件就知道它的条件很苛刻。需要两条相交直线$a,b$同时平行与平面$\beta$才能证明它们张成的平面$\alpha$与$\beta$平行。

面面平行性质

（默认$\renewcommand\parallel{\mathrel{/\mskip-2.5mu/}}\alpha\parallel\beta$）

面面平行的性质非常作用广泛，首先任何一条属于平面$\alpha$的直线$a$，都平行与平面$\beta$

由此，结合上面第二条性质，又可以推出：两个平行平面被一个平面所截，交线互相平行。

我因为比较懒，以后把它们叫做平1，平2等等。

有关垂直的公理

线面垂直判定

$\underbrace{\tt{404NotFound}}\tag{假装有符号语言}$

这是证明线面垂直的符号语言。为了证明线面垂直，我们需要两根平面内的线与直线垂直。这个要求也是比较复杂的，所以下面它有更加丰富的性质。

线面垂直性质

$Never_{gonna}^{give^{you^{up}}}Never^{gonna}_{let_{you_{down}}}$

首先，只有证明了线与面垂直，那么在这个面上的每一条直线都与这条线垂直。

还有一个不起眼的作用为两条直线都与一个平面垂直，则两条直线平行。

面面垂直判定

$鉴定为：\boxed{\frac{纯纯的} {摆烂}}$

与平1有一点点相似，在平面$\alpha$上有任意直线垂直与平面$\beta$，则两平面垂直。

面面垂直定理

#include<iostream>
#include<bailan>
using namespace bailan;
typedef int bailan;
bailan bailan=1;
bailan main(bailan bailan){
    std::cout<<"摆就完了";
    return bailan-1;
}

大概来说，就是（在一个平面内，垂直与（两垂直平面的交线）的直线）垂直与另一个平面。

这个看起来也有些像平2。

这些关系的关系

这是我自己想出来的一点都不成熟的想法，仅供参考

来源

线线、线面、面面平行与垂直，概念非常复杂，到底哪些对结果有帮助作用，而哪些没有什么用呢？我认为，凡是可以用更少的条件来推出更多的结论的，其价值就越高。

我用$w$来表示这些几何关系的价值。尽管它没有单位，没有数值，主观性较强，我认为这可以比较简便地理顺这些关系。尽管可能越理越理不顺（后面证明$w$并没有什么用）

平行类关系

• 线线平行$\underset{线\to面}{=}$线面平行

• 面面平行$\underset{面\to线}{=}$线面平行

• 2*线面平行=面面平行

• 线面平行$\cap$交线=线线平行线线平行

• 2*线线平行=面面平行

• 面面平行$\cap$交线=线线平行

经过一系列的整理，我发现它们的$w$严格来说是等价的。

从线线到线面到面面，是一个集合不断扩大的过程。用2倍（平面向量基本定理）去扩大它，用交面去缩小

线线属于无限的面面，面面能分割出无限的线线，正反的推论，正体现了几何证明的意义。

如同染色体复制为姐妹染色单体，姐妹染色单体又分离到两个细胞当中，过程在反复，但新的细胞在诞生。

另外在这个想法里，似乎线面平行没有任何的用处，线线即可证明面面，面面又能反推线线。可能线面平行只存在与考试与作业的题目中吧。

垂直类关系

• 2*线线垂直=线面垂直

• 线面垂直+交线=面面垂直

• 面面垂直$\cap$交线线线垂直=线面垂直

  在垂直关系中，交线占了很大一部分地位。

  可以说，交线和线面垂直张成的面成为了面面垂直。

  线面垂直的要求比线线垂直的要求更加苛刻，不过也可以保证，线线垂直中若有一条线要扩张成面，有且仅有一个面满足线面垂直的要求。（再作一条与某一条线垂直的直线，与”某一条线“垂直的另外两条线决定了有且仅有一个平面）

  一旦证出了线面垂直，”集合扩充了“，也就得出了更多的线线垂直。

  对于线面垂直和面面垂直同理。

  这也很难计算$w$的关系，不过经过深入思考我们发现了垂直关系的”多对一“关系：

• 一个线线垂直对应一个线面垂直对应一个面面垂直

• 一个面面垂直对应无数线面垂直对应无数的无数线线垂直

  $线线垂直\overset{\overset{线限制为面}{\Longrightarrow }}{\underset{\underset{面中任意取一线}{\Longleftarrow}}{}}线面垂直\overset{\overset{线限制为面}{\Longrightarrow }}{\underset{\underset{面中任意取一线}{\Longleftarrow}}{}}面面垂直$

  （其中线限制为面可以理解为多加了一条直线，确定了一个平面）

总结

这篇文章中我写了很多关于我对立体几何中平行和垂直关系的理解。在写的过程中，我对我其实不太熟悉的平行或垂直的关系的关系有了更加深入的理解，打破了我之前的猜想和证明，较为具体地把这些问题梳理了一遍。因为已经写了有两个多小时了，暂时就写到这里，以后可能还会补充，希望有所帮助。

2022年5月14日 20点13分-22点37分 记于市区